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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

EJERCICIO 1

a) Considere la función f(x)=x2/3f(x)=x^{2 / 3} definida en el intervalo [−1,1][-1,1]. Esta función es continua sobre este intervalo y f(−1)=f(1)f(-1)=f(1). Sin embargo, su derivada no se anula nunca. ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Rolle?
b) Sea f(x)=x3+3x5,−1≤x≤1f(x)=x^{3}+3 x^{5},-1 \leq x \leq 1. Pruebe que en x0=0fx_{0}=0 f no tiene extremo y que f′(0)=0f^{\prime}(0)=0. ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Fermat?
EJERCICIO 2

Considere la función cuadrática f(x)=x2−2xf(x)=x^{2}-2 x y el intervalo cerrado, [−1,3][-1,3]. Compruebe que el valor c∈(−1,3)c \in(-1,3) al que hace referencia el Teorema del Valor Medio es calculable en este caso.

EJERCICIO 3

Pruebe las siguientes identidades (Ayuda: use que si dos funciones fygf \mathrm{y} g tienen la misma función derivada, entonces f(x)=g(x)+cf(x)=g(x)+c, donde cc es una constante.)

a) sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1
b) ln⁡(xa)=aln⁡(x)\ln(x^{a})=a \ln(x)
EJERCICIO 4

Pruebe que la única solución de la ecuación f′(x)=2f(x),f(0)=1f'(x)=2 f(x), f(0)=1 es f(x)=e2xf(x)=e^{2x}. (Ayuda: si u(x)u(x) es solución de la ecuación estudie la derivada de h(x)=u(x)e2xh(x)=\frac{u(x)}{e^{2x}}.)

EJERCICIO 5

Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje xx sólo una vez.

a) f(x)=−3x+sin⁡(x),x∈Rf(x)=-3x+\sin(x), x \in \mathbb{R}
b) f(x)=e−x−ln⁡(x),x>1f(x)=e^{-x}-\ln(x), x>1
c) f(x)=x+ln⁡(x),x>0f(x)=x+\ln(x), x>0
d) f(x)=x2n+1+x3+x+1,x∈R,n∈Nf(x)=x^{2n+1}+x^{3}+x+1, x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}
e) f(x)=3x+1−2,x>0f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}+1}-2, x>0
EJERCICIO 6

Calcule los siguientes límites

a) lim⁡x→1esin⁡(3πx)−1x−1\lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1}
b) lim⁡x→46(x−3)2ln⁡(x−3)x−4\lim _{x \rightarrow 4} \frac{6(x-3)^{2}\ln(x-3)}{x-4}
c) lim⁡x→2ln⁡(x−1)+x2−4x−2\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\ln(x-1)+x^{2}-4}{x-2}
d) lim⁡x→04x−1+cos⁡(x)3x+sin⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)}
e) lim⁡x→0ex−1x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}
f) lim⁡x→0ex−x−1x2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1}{x^{2}}
g) lim⁡x→−1(x+1)ex2x2−1\lim _{x \rightarrow-1} \frac{(x+1)e^{x^{2}}}{x^{2}-1}
EJERCICIO 7

Calcule los siguientes límites

a) lim⁡x→+∞ex+3x2x2+7x−1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}+3x^{2}}{x^{2}+7x-1}
b) lim⁡x→+∞ln⁡(x)x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}
c) lim⁡x→+∞ln⁡2(x)x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln^{2}(x)}{x}
d) lim⁡x→+∞xe−x\lim _{x \rightarrow+\infty} xe^{-x}
e) lim⁡x→0+(1−2x)sin⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1-2^{x})^{\sin(x)}
f) lim⁡x→0+xsin⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin(x)}
EJERCICIO 8

Calcule los siguientes límites

a) lim⁡x→1(1ln⁡(x)−1x−1)\lim _{x \rightarrow 1} \left(\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{x-1}\right)
b) lim⁡x→0+(sin⁡(7x)+2x2ln⁡(x))\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin(7x)+2x^{2}\ln(x))
c) lim⁡x→0+ln⁡(x)(ex−1)\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x)(e^{x}-1)
d) lim⁡x→0+ln⁡(x)x\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{x}
EJERCICIO 9

Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.

a) f(x)={esin⁡(3πx)−1x−1 si x≠1−3π si x=1f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} & \text{ si } x \neq 1 \\ -3\pi & \text{ si } x=1\end{array}\right. en x=1x=1
b) f(x)={sin⁡(7x)+2x2ln⁡(x) si x>07x si x≤0f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin(7x)+2x^{2}\ln(x) & \text{ si } x>0 \\ 7x & \text{ si } x \leq 0\end{array}\right. en x=0x=0
c) f(x)={4x−1+cos⁡(x)3x+sin⁡(x) si x≠01 si x=0f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)} & \text{ si } x \neq 0 \\ 1 & \text{ si } x=0\end{array}\right. en x=0x=0

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