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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

EJERCICIO 1

a) Considere la función $f(x)=x^{2 / 3}$ definida en el intervalo $[-1,1]$. Esta función es continua sobre este intervalo y $f(-1)=f(1)$. Sin embargo, su derivada no se anula nunca. ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Rolle?
b) Sea $f(x)=x^{3}+3 x^{5},-1 \leq x \leq 1$. Pruebe que en $x_{0}=0 f$ no tiene extremo y que $f^{\prime}(0)=0$. ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Fermat?
EJERCICIO 2

Considere la función cuadrática $f(x)=x^{2}-2 x$ y el intervalo cerrado, $[-1,3]$. Compruebe que el valor $c \in(-1,3)$ al que hace referencia el Teorema del Valor Medio es calculable en este caso.

EJERCICIO 3

Pruebe las siguientes identidades (Ayuda: use que si dos funciones $f \mathrm{y} g$ tienen la misma función derivada, entonces $f(x)=g(x)+c$, donde $c$ es una constante.)

a) $\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$
b) $\ln(x^{a})=a \ln(x)$
EJERCICIO 4

Pruebe que la única solución de la ecuación $f'(x)=2 f(x), f(0)=1$ es $f(x)=e^{2x}$. (Ayuda: si $u(x)$ es solución de la ecuación estudie la derivada de $h(x)=\frac{u(x)}{e^{2x}}$.)

EJERCICIO 5

Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje $x$ sólo una vez.

a) $f(x)=-3x+\sin(x), x \in \mathbb{R}$
b) $f(x)=e^{-x}-\ln(x), x>1$
c) $f(x)=x+\ln(x), x>0$
d) $f(x)=x^{2n+1}+x^{3}+x+1, x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$
e) $f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}+1}-2, x>0$
EJERCICIO 6

Calcule los siguientes límites

a) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1}$
b) $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{6(x-3)^{2}\ln(x-3)}{x-4}$
c) $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\ln(x-1)+x^{2}-4}{x-2}$
d) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)}$
e) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}$
f) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1}{x^{2}}$
g) $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{(x+1)e^{x^{2}}}{x^{2}-1}$
EJERCICIO 7

Calcule los siguientes límites

a) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}+3x^{2}}{x^{2}+7x-1}$
b) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$
c) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln^{2}(x)}{x}$
d) $\lim _{x \rightarrow+\infty} xe^{-x}$
e) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1-2^{x})^{\sin(x)}$
f) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin(x)}$
EJERCICIO 8

Calcule los siguientes límites

a) $\lim _{x \rightarrow 1} \left(\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{x-1}\right)$
b) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin(7x)+2x^{2}\ln(x))$
c) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x)(e^{x}-1)$
d) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{x}$
EJERCICIO 9

Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.

a) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} & \text{ si } x \neq 1 \\ -3\pi & \text{ si } x=1\end{array}\right.$ en $x=1$
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin(7x)+2x^{2}\ln(x) & \text{ si } x>0 \\ 7x & \text{ si } x \leq 0\end{array}\right.$ en $x=0$
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)} & \text{ si } x \neq 0 \\ 1 & \text{ si } x=0\end{array}\right.$ en $x=0$

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